二、問題規范化

該論文考慮的是如下圖所示的POMDP 問題：系統處于連續的狀態－動作－觀測空間中，而系統的狀態轉移除了受到上一時刻的狀態和動作影響，還由一個離散的隱變量z 決定，而每一時刻的觀測量則由當前時刻的系統狀態以及隱變量共同決定。其中隱變量z 可用于表示系統中不確定性的不同模態，如旁側車輛駕駛者的性格、不同行進路線的路況、路面的物理狀況等。

對隱變量z 的不同可能性的置信度b（z），我們可以通過如下定義進行更新。

問題的最終目標是對行為策略π 進行優化，從而使得累計損失函數值 J 達到最低。

其中l 和lf分別為根據置信度b 加權平均得到的過程損失函數和最終損失函數。由該公式取最優行為策略π＊ 后得出的值函數V 可以表示成貝爾曼方程形式，進行遞歸處理。

三、方 法

論文提出了一種新的微分動態規劃（DDP）算法，Partially Observable Differential Dynamic Programming （PODDP），可用于解決連續空間下的POMDP 問題。與一般的iLQG／DDP 算法相似，PODDP 也把流程分為了前向過程（Forward Pass）和后向過程（Backward Pass），并對動作序列進行迭代優化。

1． 前向過程在前向過程進行前，動作序列U ＝ ｛ u0， u1， …， uT－1 ｝ 需要預先給定。在初始化的前向過程中，一般使用隨機生成的動作序列，或者通過某些前導知識有規律地生成動作序列。在此后的過程中，將使用前一次優化得到的動作序列，進行迭代優化。

在確定性系統中，由于狀態轉移過程是確定的，故給定的動作序列將衍生出一條鏈式的狀態序列。但在我們考慮的系統中，由于多模態不確定性的存在，類比于離散空間下的POMDP 問題，每一個節點都可以根據隱變量z 的不同取值可能性，延伸出多個分支，最終形成一個樹狀的軌跡推演，即軌跡樹（trajectory tree），如上圖所示。

為了更直觀地理解，我們可以考慮一個公路上的變道場景。如下圖，我們的汽車（紅色）希望變道到左側車道，可是左側車道上已經有一輛車了。我們在進行軌跡優化的時候，將未來可能獲得的關于旁側車輛駕駛者性格的觀測納入考慮當中，對方可能是合作性格的，也可能是激進性格的，這兩種性格分別對應兩個不同的模態。在向前推演的時候，根據這兩種不同模態的最大似然值進行分支，獲得軌跡推演樹。每一條從根節點到葉節點的完整支路對應一條可能發生的軌跡。

2． 后向過程為了對軌跡樹進行優化，我們首先定義值函數擾動方程Qt以描述在某一時刻t 下系統狀態和動作的擾動對值函數的影響。